Starlight of Physics: May 2014

oleh Romi Nugraha (romi.nugraha@student.upi.edu)

Sejarah Singkat

Pengetahuan radioaktivitas dimulai dari penemuan radioaktif oleh Henri Beqcuerel pada tahun 1896. Dalam eksperimenya, Becquerel meletakkan bungkusan kertas hitam yang berisi garam Uranium dalam plat fotogrfik dibawah cahaya matahari. Beliau mendapati bahwa flat fotografi tersebut berkabut setelah di cuci. Kemudian Becquerel mengulangi eksperimen ini tetapi cuaca mendung dan bungkusan garam itu tidak terkena cahaya matahari secara langsung. Namun, ketika flat fotografi tersebut di cuci ternyata berkabut seperti sebelumnya ( becquerel mengharapkan flat tersebut akan bening karena tidak terkena cahaya matahari). Dari eksperimen ini, Becquerel menemukan sumber radiasi berupa uranium dalam garam fluoresen yang terdiri dari partikel bermuatan yang bergerak cepat.

Beberpa tahun kemudian, Piere dan Marie Curie menemukan unsur radioaktif lainya yaitu Polonium dan unsur yang dua kali lebih aktif dari Uranium yaitu Radium.

Peluruhan Tunggal

Dalam sebuah sampel yang belum meluruh mengandung N inti, maka bayaknya inti dN yang meluruh dalam selang waktu dt adalah perkalian antara banyaknya inti N dan peluang $\lambda dt$ untuk masing masing inti.

$dN=-N\lambda dt$ ..................... (1)

Tanda minus menyatakan bahwa N berkurang seiring waktu

$\frac{dN}{N} = -\lambda dt$

$\int_{N_o}^{N}\frac{dN}{N} = -\lambda \int_{0}^{t}$

$ln N - ln N_o = - \lambda t$

Perumusan peluruhan lengkap radioaktif untuk peluruhan tunggal dinyatakan dengan rumusan

$N = N_o e^{-\lambda t}$ ..................... (2)

$\lambda$ adalah konstanta peluruhan yang berbeda untuk setiap unsur radiosotop. Hubungan konstanta peluruhan dengan waktu paruh sebagai berikut

$N = N_o e^{-\lambda t}$

waktu paruh terjadi saat sampel telah meluruh menjadi setengah dari jumlah sampel semula

$\frac{1}{2} N_o = N_o e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}}$

kedua ruas di ln kan

$ln (\frac{1}{2} N_o )=ln (N_o e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}})$

$- \lambda T_{\frac{1}{2}} = ln \frac{1}{2}$

$\lambda T_{\frac{1}{2}} = ln 2$

sehingga didapat hubungan waktu paruh terhadap konstanta peluruhan

$T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln 2}{\lambda} = \frac{0,693}{\lambda}$ ..................... (3)

Peluruhan Berantai

Misalkan

merupakan inti atom radioaktif yang memiliki konstanta peluruhan $\lambda_1$ meluruh menjadi inti atom baru

. Inti atom baru

juga meluruh dengan konstanta peluruan $\lambda_2$ menjadi inti atom

yang stabil.

Pada waktu awalt=0 ,diketahui bahwa $N_1=N_{10}$ ,

Pada inti induk terjadi pengurangan

$dN_1=-\lambda N_1 dt$ ..................... (4)

Pada inti anak terjadi penambahan $\lambda_1N_1$ dan pengurangan $-\lambda_2N_2dt$ sehingga perubahan jumlah inti pada anak adalah

$dN_2=(\lambda_1N_1-\lambda_2N_2)dt$ ..................... (5)

Pada inti cucu terjadi penambahan

$dN_3=\lambda_2N_2 dt$ ..................... (6)

Persamaan (4) diatas dapat dinayatakan dalam
$\frac{dN_1}{dt}=-\lambda_1N_1$
$\frac{dN_1}{N_1}=-\lambda_1dt$
\ $\int_{N_{10}}^{N_1}\frac{dN_1}{N_1}=\int_{0}^{t}-\lambda_1dt$
$ln(N_1-N_{10})=-\lambda_1 t$
dengan mengeksponensialkan kedua ruas diperoleh

$N_1=N_{10}e^{-\lambda_1t}$ ..................... (7)

Persamaan (5) diatas dapat diuraikan dalam
$\frac{dN_2}{dt}=\lambda_1N_1-\lambda_2N_2$ }
$\frac{dN_2}{dt}=\lambda_1N_{10}e^{-\lambda_1t}-\lambda_2N_2$
$\frac{dN_2}{dt}+\lambda_2N_2=\lambda_1N_{10}e^{-\lambda_1t}$
kedua ruas dikalikan dengan $e^{\lambda_2t}$ , diperoleh
$\frac{dN_2}{dt}e^{\lambda_2t}+\lambda_2N_2e^{\lambda_2t}=\lambda_1N_{10}e^{-\lambda_1t}e^{\lambda_2t}$
dengan differensial eksak persamaan diatas dapat dituliskan sebagai
$\frac{d}{dt}(N_2e^{\lambda_2t})=\lambda_1N_{10}e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}$
$\int d(N_2e^{\lambda_2t})=\int\lambda_1N_{10}e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}dt$
$N_2e^{\lambda_2t}=\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)}N_{10}e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}+C$
Konstanta C dapat di cari dengan syarat awal bahwa pada t=0 , $N_2=N_{20}=0$
sehingga
$C=-\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)}$
hasil ini disubstitusikan ke persamaan awal
$N_2e^{\lambda_2t}=\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)}N_{10}e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}-N_{10}\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)}$
$N_2e^{\lambda_2t}=\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)}N_{10}(e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}-1)$
$N_2=\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)}N_{10}(e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}-1)\frac{ 1}{e^{\lambda_2t}}$
sehingga persamaan peluruhan untuk inti atom anak

adalah

\ $N_2=\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)}N_{10}(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t})$ ..................... (8)

Dengan cara yang sama persamaan (6) dapat diturunkan menjadi
$N_3=N_{10}(1+\frac{\lambda_1}{(\lambda_2-\lambda_1)})e^{-\lambda_2t}-\frac{\lambda_2}{(\lambda_2-\lambda_1)}e^{-\lambda_1t})$

Referensi :

Arthur Beiser. 1989. Konsep Fisika Modern, edisi ketiga. Hal.40-44. Erlangga, Jakarta.

JICA,2000.Individual textbook Pendahuluan Fisika Inti. Jurusan Pendidikan Fisika Universitas Negeri Malang

Starlight of Physics

Wednesday, May 14, 2014

Peluruhan Berantai Radioaktif

Sejarah Singkat

Peluruhan Tunggal

Peluruhan Berantai